数学组  马　皓

摘要: 影响数学教育的原因很多，基本上可以分为两大类，一类为变化的因素，如文化背景的差异，科技及社会发展等等；另一类为恒常的因素，如数学知识的分析，学生的心理基础等。本文主要从心理学角度对学生数学学习中的思维问题分四点进行分析和探讨，其中包括：1.概念形成的心理分析；2.证明学习的心理分析；3.问题解决的心理分析；4.数学思维能力的分析。本文旨在使教师了解学生数学思维的心理规律，恰当地将大纲、教材、文献等信息进行综合加工处理，形成学生可以接受并乐于接受的教学信息；发挥教师的主导作用，充分调动学生的积极性和主动性；根据数学教学目的与要求，更好地选择教学方法，提高教与学的效果，顺利完成教育教学任务。

　　关键词: 心理 数学思维 分析

　　一、概念形成的心理分析

（一） 数学概念形成的心理过程

　　概念形成是指在教学条件下，从大量具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，归纳概括出一类事物的本质属性。

　　人们对客观事物本质属性的认识，经历着由表及里、由部分到整体、由具体到抽象不断深化的过程。这个心理过程包括感觉、知觉、表象、形象。在概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下几个阶段：

　　（1）辨别不同的刺激模式，达到对一组对象中每个事物个别属性的了解，以及对事物间属性异同进行剖析。

　　（2） 抽象出刺激模式中的共同属性，舍去个别的、偶发的、无关的属性，抽象概括出共同属性，这是形成概念的关键。

　　（3） 把以上抽象得到的共同属性与认知结构中已有的相应概念联系起来，并在相应的部位固定下来。

　　（4） 拿新概念的属性与认知结构中相关概念的属性比较，找出其关键的差异性，使新旧相关概念发生分化后，并发现相互间的纵横联系，形成新的概念体系。

　　（5）将新概念的关键属性推广到一切同类事物，即适用解释一切同类的新事物，反之，任一事物可对之进行分析鉴别，断定它是否属于此概念，从而完成归类过程并区分概念的层次的高低。

　　（6）用简洁的语言符号给概念下定义，定名称后，这标志着概念形成的结束，又意味将要形成新概念的开始。概念形成是系列智力思维活动的质变过程。

我们可以形象地把概念形成的心理过程表示为：                 

　　（8）形式化…………符号表示

（7） 强化……………强化概念

（6） 概括…………形成概念

（5） 检验………………确认

（4） 抽象…………本质属性

（3） 类比………共同属性

（2） 分化……各种属性

（1） 辨别…刺激模式

　　（二）在教学中学生如何获得并掌握概念

　　学生获取概念的形式主要是概念的同化，所谓同化，是利用学习者认知结构中原有概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的关键特征。在教学条件下，应该说概念同化是学生获取概念最基本的形式。大致有以下几个阶段：

　　（1）有效地选取组织学习有关材料，观察一组实例，抽象出共同的属性。

　　（2） 给出新概念的定义，通过分析其逻辑意义，初步领会新概念的本质属性。

　　（3）列举概念的肯定例证和否定例证，使概念的内涵和外延进一步明显、精确。

　　（4）新概念与已有认知结构中适当的概念建立联系（从属关系、交叉关系、并列关系），同时新概念与有关概念进一步发生分化，融会贯通，形成一个统一的整体。

（5） 用自己的语言重新表达新概念的意义，并正确使用概念的名称与符号。

　　（6） 在明确概念及概念体系的部位的基础上，进一步运用概念，使对新概念的认识上升到抽象的具体。

　　二、证明学习的心理分析

　　（一）实用性证明与理性证明

　　对于数学证明的学习，学生将首先遇到一个什么是数学证明的问题。在学生正式接触到证明以前，他们实际上已经具有了一些关于证明的观念。证明大致有以下几种：

　　 (1)个人的经验。

例如，有人说下雨了，其他人只要看一看窗外，凭感知就可证实是否下雨。

　　 (2) 权威的认可。

如平时写文章，常常用某某著名人士的话作为论据来论证某些观点的正确性。

　　 (3)观察到实例。

即用一个或几个实例来验证某个一般性的结论。

　　 (4) 举不出反例。

学生常用对答案的方式来确认自己解题的正确性。如果几个同学的答案一致，就可以认为做对了。

　　 (5) 结论的有效性。

工程技术上常以其公式，算法有效而承认其正确。

　　 (6) 数学的逻辑演绎推理。

　　一般说来，前面几种关于证明的观念在实际生活、工作中是通行的，例如前两种，在社会生活、政治生活中是认可的。而第三、第四种，在物理科学中也行的通。现在学生开始接触的，是一种理论上的严格的演绎推理，它显然不同于前几种证明。演绎推理方法是数学证明的唯一方法，这是由于数学的本质及其组织、构造的方式所决定的，它使得数学只能接受演绎证明。因此，在教学中，教师应当向学生介绍关于证明的广义的观点，恰如其分地说明数学证明本身的特征。这样既有利于建立全面的认识，又能分清数学证明与一般性证明的本质差异，更有利于理解和掌握证明方法。

　　粗略地讲，证明可以分为两大类型。一类可称为实用性证明，例如上述的前面五类，它们的特点是以事实为依据。另一类称为理性的证明，它以一般性水平上的推理论证为依据，它的特点是思想实验，而不依赖事实。数学的演绎就是这种证明。

　　人们的实际社会生活，在许多方面提出了证明的要求，这种论证大多是靠实用性证明来解决的。例如，写一篇社会科学的论文，就可以引用著名人士的言论作为论证的论据，或者列出一大套事实或数据。在反驳一个观点的时候，需要提出每个疑点，并再作正反等多侧面的分析、论证，决不可能像数学那样只提出一个反例就认为足够了。因此，全面地、广义地认识证明，是数学中首先需要澄清的问题，由此也可以认识数学证明的特殊性。

　　（二）数学教学中的证明

　　数学证明作为一种人类的活动，不仅要求学生理解概念定义及其中的逻辑过程，也需让他们了解证明为什么和怎样发生作用。事实上，证明学习不只是单纯地学形式推理，不能仅限于细节的推导，因为还有比演绎推理更重要的宏观方面的认识，例如，认识推理本身的、整体的意义，认识肯定事实、确认结论的必要性，并形成将肯定和确认传达给他人的理念。

　　数学教学中可以将证明分为三种。一种是证实，一种是证明，另一种是数学证明。证实的目的是向某个个人建立一个陈述的正确性；证明则是在某一特定时间里向某一部分人传达一种解释；而数学证明则是须为数学家所能接受的证明。据此看法，如果认为教学的目标是理解的话，那么课堂上应重视利用和发展解释性的证明，因为它有助于理解而不是只让学生模仿。

　　从另一个角度看，数学证明又可以分为三个水平：

　　(1)使自己信服。在这一水平上，个人形成了一个对某一陈述或命题为什么成立的基本想法。

(2) 使朋友信服。在这一层次上，因为涉及到信息的交流，人们需要将推导过程组织得比较通顺、连贯。

(3) 使敌人信服。到了这一水平，推理须经细致的分析和精练，经受得住批评性的反驳。

　　这种比喻性的分类，实际上蕴涵着下述的思想：学生证明的学习水平可以而且应当作一定的划分。比如，低年级学生的证明学习可以只停留在第(1)或第(2)水平；而高年级的学习也需要有一个发展的过程，应让学生将一个严格的证明从第⑴水平逐步进展到第(3)水平，而不必要求一步到位。

　　三、问题解决的心理分析

　　问题及其解法是数学教育的核心，因此它的心理过程最引人注目。各种心理学观点对问题解决有不同的解释。行为主义理论认为问题解决是“试误”，而格式塔理论则认为是“顿悟”。从人工智能研究发展起来的信息加工理论提出，问题解决是一个寻找和接受信息，回忆知识和方法进行加工处理的过程。

　　问题解决过程的阶段（环节、步骤），也可以把它称为问题解决的模式。关于这个问题，国外有不少心理学家和教育工作者提出过独到的见解。归结起来，不外乎两个方面，即传统的问题解决过程阶段论与现代认知学派的问题解决过程模式论。无论依据前者或后者，或者是二者的综合，可以把问题解决过程划分为如下几个阶段：

　　1.提出问题

　　在生活、学习与工作中，只有那些善于提出或发现问题的人，才会取得应有的效果。所谓善于发现问题，就是要善于抓住事物的矛盾。事物的矛盾是普遍地客观地存在着的，而哪里有矛盾，哪里就有问题。就其存在形式来说，问题有两类，即现成问题与非现成问题。对任何人讲，这两类问题都是存在的。前者由他人提出，不必重新发现；后者只要一个人善于观察，勤于思索，也是不难发现的。

　　2.明确问题

　　即所谓构成问题表征。其基本要求是：一为理解问题症结的所在；二为能正确地予以表征。例如，学生在演算数、理、化等习题时首先必须审题。而所谓审题，就包含有发现问题与明确问题两重意思。

　　3.提出假设

　　即提出解决问题的可能的方法和途径或某种可能是正确的结论。在科学研究中，假设又可能发展为假说。正如贝弗里奇所说：“假说是研究工作者最重要的思想方法，其主要作用是提出新实验或新测验。……假说的另一作用是帮助人们看清一个事物或事件的重要意义，若无假说则这一事物或事件就不说明问题。……假说应当作为工具去揭示新的事实，而不应将其视为自身的终结。”在学习中，特别为解决比较复杂的问题时，本着“多想出智慧”的原则，提出各种各样的假设是完全必要的。

　　4.验证假设

　　假设的提出与验证往往是在一个统一过程中进行的，即边提出假设，边进行验证，但一般说来，总是先提出假设后予以验证。验证的方式主要有二：一是在实际操作中验证，如通过实验、测量、观察、制作等去验证假设；一是在智力操作中验证，如通过分析、综合、抽象、概括、比较、归类、演绎、归纳等去验证假设。这两种验证方式在学习中都是经常采用的。在提出与验证假设的过程中，试误现象十分明显，顿误现象也会出现。

　　5.作出结论

　　假设的正确性一经证实后，就可以据此而作出相应的结论。有的结论是验证的直接结果，如某些实验、测量、演算的结果便是；有的结论不是验证的直接产物，它往往需要对验证的结果进行复杂的分析和综合、高度的抽象与概括才能作出。这在科学研究中表现得最为明显。

　　四、数学思维能力的分析

　　能力是数学教育中令人关注的问题之一。它不仅关系到教学的理论目的，也关系到教学内容的设置、教学方法的改进和学生智力的开发，所以对教学理论和实践两方面都很重要。对于数学思维能力，各种各样的观点很多。其中比较系统的是将数学思维能力分为：信息的收集与获得，信息的加工，信息的保持三个方面。

　　（一）信息的收集与获得

　　掌握一种数学技能，关键是最初的感知和定向，而不是简单地按指定方向进行运算。在这方面，数学能力表现在对同样的数学材料能挖掘出较多的信息，能根据问题所给出的条件主动地最大限度地抽取有用的信息，能清楚地看出问题的结构，区分出问题中的三种不同成分：

（1）某个问题的本质的综合特征；

　　（2）同一类型中各个具体问题间的区别；

　　（3）抛弃多余的成分。

　　能力强的学生将每个问题看成是一个综合的整体，能感知整体中的个别成分，并将它们看作整体中的一部分，它们是互相联系的，在整体中起着作用。这样，就既能从整体上看到问题，又不忽略细节，一下子抓住问题中有基本数学意义的那些关系。例如，对“27x3＋27x2＋9x＋1”这类问题，能力强的学生能把它看成是二数之和的立方的展开式，而能力差的学生却不能一下子看到各项间的关系，而去孤立地看待各项。

　　能力强的学生在定向时，有一种“形式化”的能力，对问题能迅速地得出其形式结构，好象实际的数学材料等具体内容不存在了，只留下了辨明问题的形式标志。他们还能将最初的定向只作为一种手段，在归结出问题的性质以后，就可迅速转入运算，集中精力解决问题。

　　（二）信息的加工

　　（1）概括数学对象的关系和运算的能力，即一般化的能力。这主要表现在：遇到一种新问题时，经常用一般形式去解决它，摆脱外表特点、细节、具体材料和数字，找出本质和规律。能从特殊例子中发现一般性、普遍性的东西，并能概括出解题方法或运算法则。

　　例如，在学会了（a＋b）2的公式后，就能将（a＋b＋c）2的问题化归为前者。又如，在学会了证明“三个连续整数之和能被3整除”的一般代数方法后，会利用同样的方法证明“如果两个分数之和等于1，则第一个数的平方加上第二个数，等于第二个数的平方加上第一个数。”

　　（2）缩短数学推理过程和相应的运算过程的能力，以简单的结构进行思维的能力。这主要表现为省略的思维过程，长长的思考过程变成了几个重要、关键的环节，并且不仅有简短的推理环节，而且有推理缩短后的简约的运算式子。这样就提高了信息加工速度，简化了解题过程。

　　例如，有一轮船在A、B二地间匀速行驶。问轮船往返一次是有水流时快还是静水时快？一般地讲，这个问题的详细推理可达十步左右，但是能力强的学生往往只要几步即可：

　　①逆水行驶时船速要减去一个量；

　　②顺水行驶时船速要加上一个量；

　　③逆水行驶要比顺水时所花时间多；

　　④逆水行驶损失的时间要大于顺水时所节省的时间，所以水流使往返的总时间增加。

　　这里，特别是第③、④两步缩短了许多环节，提高了解题速度。

　　（3）在数学活动中的心理过程的灵活性。这种机动性、灵活性表现在容易地从一种性质心理运算转换到另一种性质的心理运算上。

　　（4）解题时力求明了、简洁的解题方法。能力强的学生能用最简洁的思考方法，并不满足于问题的解决，而是想进一步改进解法。当找到的方法复杂、粗糙时，就显得不满意，还想继续努力找出新方法。

　　（5）数学推理中，心理过程的可逆性（迅速自如地从正向思维转向逆向思维的能力）。主要表现在迅速、明显地重建心理过程的方向，从正向思维转入逆向，推理过程中表现出自然的可逆性。

　　例如在学了公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ以后，面对问题：求cos30°sin15°＋cos15°sin30°，能力强的学生与能力差的学生表现出明显的差距。前者能立即得到sin45°＝■ ，而半数以上的能力一般的学生不会解这个题目。

　　（三）保持信息的特点

　　能力强的学生记忆数学材料是概括性的。他们的记忆是有选择的，保持的并非是进入头脑的全部数学信息，而是题目类型的标志，解题的一般方法，推理模式，证明的基本路线和逻辑格式。这样记忆负荷可减少，也容易保持长久。

　　例如，“求一个数，它被5除，余数是7”这样一个问题，过一段时间后，能力差的学生或是记不得了，或是只记得要计算与5和7这两个数有关的一道题。而能力强的学生记得是一道有关数的式子的题。该数可能被一个数除，还有余数。具体涉及什么数记不得了，但记得有一个明显的特征：余数要大于被除数。

　　数学能力还表现在一些特殊方面，例如表现出来的数学气质，即力求将周围现象数学化，处处注意事物的数学侧面，注意空间、数量关系以及函数依存关系等等；解题中表现出来的“灵感”；在持久、紧张的数学活动中不感到疲倦的特点等。

　　数学教学是数学思维活动的教学。数学教学的成功与否，很重要的一条在于教学活动是否符合学生的心理活动。因此，针对学生的心理特点组织教学，实施教学方法，已成为一个重要课题。对于帮助学生系统地掌握和运用抽象的数学概念、原理、方法，是在学生旧有知识的框架及心理发展的水平上，在学生认识能力所及的前提下进行的。通过以上四部分研究，本文旨在使教师了解学生的认知的心理规律和心理特点，恰如其分地将大纲、教材、文献资料所刊登的知识信息进行综合加工处理，形成学生可能接受并乐于接受的教学信息；发挥教师的主导作用，充分调动学生的积极性和主动精神；根据数学教学目的与要求，更好地选择教学方法，对学生进行学习指导，提高教与学的效果，顺利完成教育教学任务。

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